대학교 수학과의 과목들을 알아보자

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안녕 일게이들아 저번에 수학과 과목들 올렸다가 1편만 썼다고

욕 허벌라게 쳐먹은 병신이다. 

그때 너무 졸려서 그거까지 밖에 못썼으니 이번엔 좀더 쓴다. 

너무 늦게 써서 미안하다. 그리고 다시한번 말하지만 이산수학이니 수치해석같은 

잡다한 과목은 안쓴다. 그리고 세줄요약 따위 없다. 

3학년 과목(저번에 이어 계속)

위상수학(Topology)

교양책에서 이런 말 흔히 들어봤을거야. "도넛과 머그컵은 위상적으로 동일하다.", "3차원 공간 전체는 경계가 없는, 구체와 위상적으로 같다.",

"원판을 잡아 늘리고, 경계면을 작게 붙이면 구면이 된다.", "뫼비우스 띠는 경계가 없다." 

이런 짓거리를 수학적으로 다루는 것이 위상수학이다. 3학년 수학과 과목 3대장(해석학,현대대수,위상수학)중 한놈이고, 

사실상 3대장중 최고위엄 난이도를 자랑한다. 특히 2학기로 넘어가면서는 정말 어렵다.  Rudin 개새끼 다음으로 

수학과 게이들이 많이 외치고 다니는게 Munkres 개새끼다. 

이 과목의 별명은 다름이 아닌 "또모르지"야. 재수강해서 듣고 삼수강해서 들어도 까먹고 또 까먹고, 이해가 힘들다는

과목이지. 

이 과목이 이렇게 어려운 이유가 있는건 다른게 아니라, 해석학보다 훨씬 더 업그레이드 된 직관력(눈에 보이지 않는

공간도 다루는데, 이 공간을 상상해야 됨)과 현대대수에서 필요한 추상적인 사고(2학기 내용)를 동시에 요구하기 때문이야. 

특히 해석학에 자신 없는 게이들은 이 과목 수강신청 하지 않는걸 추천할게. 

다루는 내용은 다음과 같다.

1학기: Point set topology;

Metric space, Topological space, Basis and Sub-basis, Continuous function and Homeomorphism, Quotient space, 

Separation axioms, Countability, Introduction to the topological manifold and the surfaces, Compact and Connected,

Regular space and Normal space, Tietz extension theorem and Urysohn lemma, Metrization theorems. 

집합론에서 배운 기초적인 내용을 가지고 위상공간이란것이 뭔지 정의한후 여러가지를 배운다. 

여기서 중요한것을 몇개 꼽자면 다음과 같아. Homeomorphism, Quotient space, Manifold and surfaces, Compact and Connected,

Regular space and Normal space, Tietz extension theorem and Urysohn lemma, Metrization theorems. 

제일 중요한 핵심개념은 Homeomorphism(위상동형사상). 위상적으로 두 대상이 같다 라는걸 말해주는 개념이고, 이걸 바탕으로 

여러가지 Topological invariant(위상 불변량)를 따지는 것이 가능해진다.

1학기의 최종목표는 Urysohn lemma와 여러가지 Metrization 정리들을 이해하는 거야. 실해석학 또는 해석학을 배운 게이들이라면

Hilbert space, Uniform convergence, Uniform continuous 같은 놈들이 Metrization theorem에서 위상수학과 어떻게 연결되는지

배우게 될꺼야. 그리고 Manifold라는 공간을 여기서 접하게 되는데, 앞으로도 계속 써먹는 중요한 놈이다. 

2학기: Algebraic topology with geometry.

Manifold and Surfaces(1학기와 살짝 중복되긴 하지만 더 배운다), Classification of the surfaces, Fundamental group and 

Homotopy,  Covering space, Simplical complex, Van-campen theorem, basic homology. 

2학기는 1학기 위상에서 다뤘던 manifold에 대해서, 특히 2차원 manifold인 surfaces에 대해서 집중적으로 다룬다.

나름 수학과에서 자신있다던 게이들도 위상2학기에 와서는 정말 많이 무너져. 초중반부터 현대대수에서 나왔던 여러가지

개념들이 위상과 섞여서 Homotopy와 Homology라는 걸 만드는데, 대수 못했던 게이들은 여기서 눈물을 머금고 수강취소를

누르게 된다. ㅠㅠ 

위상수학이 어렵긴 한데, 대학원 입시 준비를 하는 게이들과 임용 준비하는 게이들은 꼭 이겨내야 하는 놈이다. 

현대대수(Modern algebra)

이 과목은 말그대로 대수에 대해서 다루는 과목이야. 어 고딩때 대수 쉬웠는데?

그딴 생각품고 들이댔다간 기말끝나고 성적표에 D혹은 F가 찍혀있는 걸 볼수 있을거야.

이 과목은 개인의 노력보다는 사람들마다 가진 "수학적인 센스"의 편차가 정말 크게 좌우하는 

과목이야. 

이유는 수학과 과목중에 가장 추상적이기도 하고, 반짝이는 아이디어가 있으면 쉽고 

없으면 해결이 안되는 "도 아니면 모"의 성격을 가졌기 때문이야. 

난 개인적으로 이 과목이 위상보다 더 어려웠어. 

극단적인 예시를 들자면 어떤 놈들은 1학년때 현대대수 들어서 A+ 가볍게 찍기도 하고, 

4학년때 삼수강해서도 겨우겨우 B+ 맞아서 졸업하는 케이스도 있어. 

다루는 내용은 다음과 같다. 

1학기 Group, Homomorphism and Isomorphism, Cyclic group, Permutation, Lagrange theorem, Factor groups, Simple group and group action,

Ring and Field, Integral domain, Fermat's theorem, Euler's theorem, Quotient field, Polynomial ring, Ideals.

2학기 Direct sum,  Factorization, Module, Vector space, Field theory, Field extension, Galois theory.

2학기까지 마치고 나면 임의의 각도 3등분이 왜 불가능한지, n차 방정식의 근이 n개 존재하는지를 증명 할 수 있게 된다. 

학교마다 조금씩 다른데 Modular form이랑 Tensor, Homology 까지 다 가르치는 빡센 학교도 있어. 

복소해석학(Complex analysis) 3~4학년 과목

이 과목은 학교마다 배우는 학년이 틀린데 어떤 학교는 2학년때 해석학, 3학년때 복소해석학을 하기도 하고, 어떤 학교는 4학년 1학기에 

단학기로 끝내버리는 학교도 있어. 

이전에 해석학에서 다루는 변수가 실수였던 반면에, 여기선 복소수를 가지고 놀아. 

이 과목에서 배우는 테크닉은 물리학(특히 양자랑 전자기학)이나 공학에서도 많이 써먹기 때문에 

공대나 물리과 사람들이 많이 듣기도 하는 몇 안되는 수학과 인기 강좌야.

해석학을 잘했던 게이들은 이 과목을 들을때 쉽게 들을수 있고, 특히 2학기 위상까지 공부했던 게이라면 

이 과목 들을때 위상2에서 배운 여러가지 내용이 어떻게 다른놈들과 연결되는지를 이해 할 수 있어. 

그리고 여기서 배우는 계산 테크닉들은 다른 과목에서도 많이 쓰이기 때문에 꼭 잘공부해둬야 해. 

배우는 내용이다. 이건 그냥 1,2학기 구분안하고 쓸게. 

Complex numbers and Complex planes, Point set topology on the complex plane, Limit and Continuity, Complex sequential limit, 

Differentiation and Cauchy Riemman equation, Integration, Cauchy-Goursat's theorem, Pole and Residue theorem, Laurant series,

Argument principle and Conformal mapping, Harmonic function, Fourier analysis, Riemman zeta function. 

여기서 중요한거 몇가지 꼽자면, Cauchy 적분, Residue theorem, Conformal mapping, Harmonic function 이다. 

어떤 학교는 대학원에서 다루는 다변수 복소해석학 내용까지 다루는 경우도 있어(4학년 과목일 경우). 

미분기하학(Differentiable geometry) 개인적으로 학부에서 공부했던 3학년 과목중에 위상수학과 

더불어서 제일 재밌는 과목이다. 

이 과목은 고등학교때 배운 기하학이랑 조금 틀려. 

고등학교때 기하학에선 미적분을 이용하지 않지만, 여기선 

선형대수, 미적분학, 다변수해석학에서 사용한 테크닉을 기하학에 적용해서 해결해. 

다변수해석학을 좋아했던 게이들이라면 이 과목 배울때 진짜 재밌게 공부할수 있어.

수학과 3학년 과목중에 그나마 쉬운 축이다. 왜그러냐면, 계산적인 면이 많기 때문이야.

배우는 내용은 다음과 같다(이것도 단학기인 학교도 있으니 그냥 1,2학기 구분 안하고 쓴다.)

Frame field, Vector field, Differentiable curve, Curvature and Torsion of the curve,  Frenet-serret theorem, Curve theorem, 

Isoperimetric, Isometry, Surface's Shape operator, Mean curvature, Principal curvature, Gaussian curvature, Geodesic, Fundamental forms,

Gauss-Remarkable theorem, Gauss bonnet theorem, Hopf theorem.

최종적인 목표는 Gauss bonnet theorem에 대한 이해를 하는것이고, 여기서 위상수학에서 배운 genus개념이 미분기하학에 적용되는것을 

볼 수 있어. 

이 과목이 학교마다 차이가 가장 큰데, 어떤학교는 여기서 더 나아가서 리만기하학이나 일반상대론을 학부에서 다루기도 해. 

여기까지가 3학년 주요 과목이고, 4학년 과목이나 기타 과목들은 3편에서 마무리 지을게. 

[출처] (씹스압)수학과 과목을 알아보자. Mathematics(02)
[링크] http://www.ilbe.com/4801083187

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